Zobrazenie zdroja stránky Schrödingerova rovnica

'''Schrödingerova rovnica''' je základná [[diferenciálna rovnica]], ktorá určuje vývoj fyzikálneho systému formalizmom [[vlnová mechanika|vlnovej mechaniky]]. Je ústrednou rovnicou kvantovej mechaniky. Pomenovaná je podľa [[Erwin Schrödinger|Erwina Schrödingera]], ktorý ju sformuloval v roku 1926.<ref>http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/schrodinger-bio.html</ref>

Schrödingerova rovnica môže byť matematicky pretransformovaná na Heisenbergovu maticovú mechaniku a Feynmanovu formuláciu dĺžkového integrálu.

== Schrödingerova rovnica ==
V závislosti od toho, aký systém chceme popísať, Schrödingerovu rovnicu môžeme napísať vo viacerých tvaroch. V tejto časti predstavujeme rovnicu pre všeobecné a jednoduché prípady, ktoré sú predmetom mnohých učebníc.

=== Všeobecný kvantový systém ===
Pre všeobecný kvantový systém platí:<ref>
{{Citácia knihy
| priezvisko = Shankar 
| meno = F.
| odkaz na autora = 
| titul = Principles  of Quantum Mechanics
| vydavateľ = [[Kluwer Academic]]/[[Plenum Publishers]]
| miesto = 
| rok = 1994
| isbn = 978-0-306-44790-7
| vydanie = 2
| kapitola =
| strany = 143
| jazyk = angličtina
}}</ref>

:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi = \hat H \Psi</math>

kde

* <math>\,\! \Psi</math> je vlnová funkcia
* <math>i \hbar \frac {\partial}{\partial t}</math> je operátor energie<ref>[http://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node103.html Kurz kvantovej mechaniky na Kalifornskej univerzite v San Diegu]</ref> (<math>i</math> je [[imaginárna jednotka]] a <math>\hbar</math> je [[Planckova konštanta]] vydelená číslom 2<math>\pi</math>),
* <math>\hat H</math> je [[Hamiltonov operátor (Hamiltonovej funkcie)|Hamiltonián]].

=== Jedna častica s potenciálnou energiou ===
Pre jednu časticu, na ktorú pôsobia sily (čiže potenciálna energia V je nenulová), má Schrödingerova rovnica tvar:<ref>
{{Citácia knihy
| priezvisko =  Shankar 
| meno = F.
| odkaz na  autora = 
| titul = Principles  of Quantum Mechanics
| vydavateľ =  [[Kluwer Academic]]/[[Plenum Publishers]]
| miesto = 
| rok = 1994
| isbn = 978-0-306-44790-7
| vydanie = 2
| kapitola =
| strany =  143
|  jazyk = angličtina
}}</ref>

:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)</math>

kde

* <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2</math> je operátor kinetickej energie (''m'' je hmotnosť častice),
* <math>\nabla^2</math> je [[Laplaceov operátor]]. V troch rozmeroch má Laplaceov operátor tvar<math>\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial z}^2}</math>, kde ''x'', ''y'' a ''z'' sú osi v karteziánskej súradnicovej sústave,
* <math>V\left(\mathbf{r}\right)</math> je časovo nemenná potenciálna energia v mieste udanom polohovým vektorom '''r''',
* <math>\Psi(\mathbf{r},\,t)</math> je amplitúda pravdepodobnosti pre časticu, ktorá sa má nachádzať v čase t na mieste určenom polohovým vektorom '''r'''.

=== Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica ===
Časovo nezávislá Schrödingerova  rovnica pre jednu časticu s potenciálnou energiou ''V'' má tvar:<ref>
{{Citácia knihy
| priezvisko =  Shankar 
| meno = F
| odkaz na  autora = 
| titul = Principles  of Quantum Mechanics
| vydavateľ =  [[Kluwer Academic]]/[[Plenum Publishers]]
| miesto = 
| rok = 1994
| isbn = 978-0-306-44790-7
| vydanie = 2
| kapitola =
| strany =  145
|  jazyk = angličtina
}}</ref>

:<math>{E}\psi(r) = - {\hbar^2 \over 2m} \nabla^2 \psi(r) + V(r) \psi(r).</math>

== Odvodenie ==

=== Krátke heuristické odvodenie ===
Schrödingerova rovnica môže byť odvodená nasledovným spôsobom.{{chýba citácia}}

==== Predpoklady ====
# Celková energia častice ''E'' je
#: <math>E = T + V = \frac{p^2}{2m}+V.</math>
#: Toto je klasický zápis pre časticu s hmotnosťou ''m'', kde celková energia ''E'' je daná súčtom kinetickej energie ''T'' a potenciálnej energie ''V'' (táto sa môže meniť v závislosti od polohy a času). ''p'' je hybnosť častice a ''m'' jej hmotnosť.
# [[Fotoelektrický efekt|Einsteinova hypotéza kvánt energie]] z roku 1905, podľa ktorej je energia E fotónu priamoúmerná veľkosti frekvencie ''ν''  (alebo [[uhlová frekvencia|uhlovej frekvencie]] ''ω''&nbsp;=&nbsp;2π''ν'') korešpondujúcej elektromagnetickej vlny.
#: <math>E = h\nu = \hbar \omega \;,</math> 
# [[de Broglieho hypotéza]] z roku 1924, podľa ktorej akejkoľvek častici môže byť priradená vlna a hybnosť častice ''p'' je vo vzťahu ku [[vlnová dĺžka|vlnovej dĺžke]] ''λ'' (alebo [[vlnové čislo|vlnového čisla]] ''k'') takom, že platí: 
#: <math>p = \frac{h}{\lambda} =  \hbar k\;,</math>
# Tieto tri predpoklady umožňujú odvodiť len rovnicu pre [[rovinná vlna|rovinnú vlnu]]. Tvrdiť, že takáto rovnica platí pre akúkoľvek vlnu vyžaduje [[princíp superpozície]], a preto je nutné postulovať nezávislý predpoklad, že Schrödingerova rovnica je [[lineárna diferenciálna rovnica|lineárna]].

==== Vyjadrenie vlnovej funkcie vo forme komplexnej rovinnej vlny ====
Hľadáme parciálnu diferenciálnu rovnicu, ktorej riešením je nasledovná rovnica pre rovinnú vlnu (i):

:<math>\Psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}</math>

:kde A je komplexná konštanta

Platí:

:<math>E = \frac{p^2}{2m} </math>

Použijúc druhý a tretí predpoklad dostávame (ii):

:<math>\hbar\omega = {\hbar^2\ k^2\over 2m}</math>

Teraz zderivujeme vlnovú funkciu (i) najskôr podľa času t a potom podľa osi x:

:<math> i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{x},t) = \hbar\omega \Psi (\mathbf{x},t)</math>


:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi (\mathbf{x},t) = {\hbar^2\ k^2\over 2m} \Psi (\mathbf{x},t)</math>


Keďže platí (ii), platí aj


:<math> i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{x},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi (\mathbf{x},t),</math>


čo je Schrödingerova rovnica pre časticu pohybujúcu sa v smere osi x za neprítomnosti potenciálu V.

Schrödingerova rovnica pre časticu v trojrozmernom priestore za prítomnosti pôsobenia síl (teda potenciálu V) má tvar:


:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi</math>

== Referencie ==
{{Referencie}}

== Zdroj ==
* {{preklad|en|Schrödinger equation|350543509}}

[[Kategória:Kvantová mechanika]]