Zobrazenie zdroja stránky Harmonické číslo

'''Harmonické číslo''' alebo presnejšie '''<math>n</math>-té harmonické číslo''' je hodnota súčtu obrátených hodnôt všetkých prirodzených čisel menších alebo rovných <math>n</math>. Bežne sa označuje symbolom <math>H_{n}</math>. Presne je definované vzťahom
:<math>H_{n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i}</math>.

Harmonické čísla a ich vlastnosti študovali už antickí matematici. Dnes zohrávajú dôležitú úlohu v rozmanitých odvetviach [[teória čísel|teórie čísel]]. O harmonických číslach sa niekedy nesprávne hovorí ako o [[harmonický rad|harmonickom rade]]. V skutočnosti sú iba [[čiastkový súčte|čiastkovými súčtami]] harmonického radu. Tesne súvisia s [[Riemannova zeta funkcia|Riemannovou zeta funkciou]] a vyskytujú sa v predpisoch niektorých špeciálnych funkcií.

==Vlastnosti==
*Hodnoty harmonických čísel rastú asymptoticky rovnako rýchlo ako hodnota [[logaritmus|prirodzeného logaritmu]].
*Platí <math>\lim_{n\to\infty} H_{n}-\ln(n)=\gamma</math> kde <math>\gamma</math> je [[Eulerova-Mascheroniova konštanta]].

==Vytvárajúca funkcia==
[[Vytvárajúca funkcia]] harmonických čísel je
:<math>\sum_{n=1}^\infty z^n H_n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z}</math>

==Referencie==
* [[Donald Knuth]]. ''The Art of Computer Programming'', Volume 1: ''Fundamental Algorithms'', Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp.75–79.

== Zdroj ==
{{preklad|en|Harmonic_divisor_number}} (harmonic divisor number, Ore's harmonic number)

[[Kategória:Teória čísel]]