Zobrazenie zdroja stránky Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie

'''Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie (pravdepodobnosti)''' (iné názvy: '''Fisherovo-Snedecorovo pravdepodobnostné rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie F, Fisherovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), Snedecorovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), F-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie F''') je v [[Teória pravdepodobnosti|teórii pravdepodobnosti]] a [[Matematická štatistika|matematickej štatistike]] spojité rozdelenie pravdepodobnosti. 

Rozdelenie je pomenované podľa [[Ronald Aylmer Fisher|Ronaldovi Aylmerovi Fisherovi]] a [[George Waddel Snedecor|Georgeovi Waddelovi Snedecorovi]], dvoch významných [[matematik]]och.

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri [[Testovanie hypotéz|testovaní štatistických hypotéz]]. Pri tomto testovaní sa využívajú [[Kritická hodnota (štatistika)|kritické hodnoty]] F-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

== Definícia ==
Nech <math>X</math> je [[náhodná premenná]], nech <math>x > 0</math>, a nech <math>m</math> a <math>n</math> sú [[Prirodzené číslo|prirodzené čísla]]. Hovoríme, že <math>X</math> má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s <math>m</math> a <math>n</math> [[stupeň voľnosti (štatistika)|stupňami voľnosti]] (môžeme tiež písať: (m, n) - stupňami voľnosti), ak jej [[hustota rozdelenia]] má nasledovný tvar:

<math>
f_{m, n} (x) =
\begin{cases}
\frac{\Gamma(\frac{m + n}{2})}{\Gamma(\frac{m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}}x^{\frac{m}{2}-1}(1 + \frac{m}{n}x)^{-\frac{m + n}{2}} & \mathrm{pre}\ x > 0
\\0 & \mathrm{pre}\ x \le 0
\end{cases}</math>

kde označenie <math>\Gamma(\alpha)</math> označuje [[Gama funkcia|gama funkciu]] (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

<math>\operatorname\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{\alpha - 1}\mathrm{d}x</math>

Označenie:
* <math>\operatorname X \sim F(m, n)</math>

=== Ďalšie vyjadrenia ===
Náhodnú premennú X, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch [[Chí-kvadrát|<math>\chi^2</math>-kvadrátov]], a to nasledovne:<br />
Majme dve náhodné premenné <math>Y</math> a <math>Z</math>, ktoré sú [[Nezávislosť (štatistika)|nezávislé]]. Nech o nich platí, že <math>Y</math> má <math>\chi^2</math>-kvadrát rozdelenie s <math>m</math> stupňami voľnosti a <math>Z</math> nech má <math>\chi^2</math>-kvadrát rozdelenie s <math>n</math> stupňami voľnosti, teda: <math>\operatorname Y \sim \chi^2(m)</math> a <math>\operatorname Z \sim \chi^2(n)</math>. Potom náhodná premenná <math>F</math> definovaná vzťahom:<br />

<math>F = \frac{\frac{Y}{m}}{\frac{Z}{n}}</math>

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s <math>m</math> a <math>n</math> stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch náhodných výberov z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:<br />
Majme náhodný výber <math>(X_1, ..., X_m)</math> z nejakého základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie <math>N(\mu_1 ; \sigma_1^2)</math>, ďalej majme náhodný výber <math>(Y_1, ..., Y_n)</math> z ďalšieho základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie <math>N(\mu_2 ; \sigma_2^2)</math>. Nech <math>S_1^2</math> a <math>S_2^2</math> sú výberové rozptyly a nech pre <math>m</math>, <math>n</math>, <math>\sigma_1^2</math> a <math>\sigma_2^2</math> platí nasledovné:
* <math>m \ge 2</math>
* <math>n \ge 2</math>
* <math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2</math>
Potom náhodná premenná <math>F</math> definovaná vzťahom:

<math>F = \frac{S_1^2}{S_2^2}</math>

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s <math>m-1</math> a <math>n-1</math> stupňami voľnosti (alebo: <math>(m-1, n-1)</math>-stupňami voľnosti).

== Vlastnosti ==
Ako vidíme z definície, toto rozdelenie závisí od počtu stupňov voľnosti. Graf rozdelenia je asymetrický.<br>
Pokiaľ má náhodná premenná <math>X</math> Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, tak potom jej <math>k-ty</math> [[začiatočný moment]] má nasledovný tvar:

<math>
\mu_{k} = \left(\frac{n}{m}\right)^{k}\frac{\Gamma(\frac{m}{2} + k)\Gamma({n}{2}-k)}{\Gamma({m}{2})\Gamma(\frac{n}{2})}
</math>

Z tohto vzťahu ľahko vidíme, že pre [[stredná hodnota (náhodná veličina)|strednú hodnotu]] a [[rozptyl (štatistika)|disperziu]] náhodnej premennej <math>X</math> s Fisherovým-Snedecorovým rozdelením platí nasledovné:

<math>
E(X) = \frac{n}{n - 2}
</math> ; pre <math>n > 2</math>

<math>
D(X) = \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}
</math> ; pre <math>n > 4</math>

== Kritická hodnota==
Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech <math>X</math> je náhodná premenná, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s <math>m</math> a <math>n</math> stupňami voľnosti. Potom hodnotu <math>\operatorname F(m, n, \alpha)</math>, ktorú náhodná premenná <math>X</math> presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou <math>\alpha</math> nazývame kritickou hodnotou Fisherovho-Snedecorovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

<math>P (X > F(m, n, \alpha)) = \int_{F(m, n, \alpha)}^{\infty} f_{m, n}(x) \mathrm{d}x = \alpha</math>

== Externé odkazy ==
* [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3673.htm Tabuľka kritických hodnôt F-rozdelenia]

== Zdroje ==
* {{Citácia knihy
  | priezvisko = Riečan
  | meno = Beloslav
  | odkaz na autora = 
  | priezvisko2 = Lamoš
  | meno2 = František
  | autor2 = 
  | odkaz na autora2 =
  | priezvisko3 = Lenárt
  | meno3 = Cyril
  | autor3 = 
  | odkaz na autora3 =
  | titul = Pravdepodobnosť a matematická štatistika
  | vydavateľ = ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava
  | miesto = Bratislava
  | rok = 1984
  | isbn = 
  | kapitola = Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia
  | strany = 320
  | jazyk = slovenčina
}}
* {{Citácia knihy
  | priezvisko = Lamoš
  | meno = František
  | odkaz na autora = 
  | priezvisko2 = Potocký
  | meno2 = Rastislav
  | autor2 = 
  | odkaz na autora2 =
  | titul = Pravdepodobnosť a matematická štatistika  - Štatistické analýzy
  | vydavateľ = Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave
  | miesto = Bratislava
  | rok = 1998
  | isbn = 80-223-1262-2
  | kapitola = Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti
  | strany = 344 strán
  | jazyk = slovenčina
}}
* {{Citácia knihy
  | priezvisko = Janková
  | meno = Katarína
  | odkaz na autora = 
  | priezvisko2 = Pázman
  | meno2 = Andrej
  | autor2 = 
  | odkaz na autora2 = 
  | titul = Pravdepodobnosť a štatistika
  | vydavateľ = Vydavateľstvo UK
  | miesto = Bratislava
  | rok = 2011
  | isbn = 978-80-223-2931-6
  | kapitola = Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho
  | strany = 150
  | jazyk = slovenčina
}}
* {{Citácia knihy
  | priezvisko = Barnovská
  | meno = Mária
  | odkaz na autora = 
  | spoluautori = kol.
  | titul = Cvičenia z matematickej analýzy III.
  | vydavateľ = MFF UK
  | miesto = 
  | rok = 2005
  | isbn = 
  | kapitola = Parametrické integrály – Eulerove integrály
  | strany = 156
  | jazyk = slovenčina
  | url = http://www.iam.fmph.uniba.sk/skripta/maiii/
}}

[[Kategória:Náhodné rozdelenia]]